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过M(-1,0)做抛物线C:y2=2px(p>0)的两条切线,切点分别为A,B.若.MA•.MB=0.(1)求抛物线C的方程;(2)N(t,0),(t≥1),过N任做一直线交抛物线C于P,Q两点,当t也变化时,求|PQ
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过M(-1,0)做抛物线C:y2=2px(p>0)的两条切线,切点分别为A,B.若
•
=0.
(1)求抛物线C的方程;
(2)N(t,0),(t≥1),过N任做一直线交抛物线C于P,Q两点,当t也变化时,求|PQ|的最小值.
. |
MA |
. |
MB |
(1)求抛物线C的方程;
(2)N(t,0),(t≥1),过N任做一直线交抛物线C于P,Q两点,当t也变化时,求|PQ|的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)
•
=0⇒MA•MB=90°,
由抛物线的对称性,∴KMA=1,
∴lAM:
,
∴y2-2px+2p=0.
∴
,∴p=2.
∴y2=4x.
(2)设PQ的方程为:x=my+t,代入抛物线方程可得:y2-4my-4t=0,t≥1.△>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴y1+y2=4my,y1y2=-4t,
|PQ|=
=4
,
∴m=0时,|PQ|min=4
(t≥1).
. |
MA |
. |
MB |
由抛物线的对称性,∴KMA=1,
∴lAM:
|
∴y2-2px+2p=0.
∴
|
∴y2=4x.
(2)设PQ的方程为:x=my+t,代入抛物线方程可得:y2-4my-4t=0,t≥1.△>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴y1+y2=4my,y1y2=-4t,
|PQ|=
1+m2 |
(1+m)2+16t |
1+m2 |
m2+t |
∴m=0时,|PQ|min=4
t |
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