点M是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是(0，6−22)(0，6−22)．

Question

点M是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是

(0，(√(6)−√(2))/(2))

(0，(√(6)−√(2))/(2))

．

Answer 1

∵圆M与X轴相切于焦点F，
∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）
M在椭圆上，则y=(b2)/(a)或y＝−(b2)/(a)（a²=b²+c²），
∴圆的半径为(b2)/(a)，
过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）
∴PN=NQ=√(((b2)/(a))2−c2)，
∵∠PMQ为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°
即PN=NQ＞MN=c
所以得√(((b2)/(a))2−c2)＞c，即(b4)/(a2)−c2＞c2，
得((a2−c2)2)/(2c2)＞2c2，
a²-2c²+c²e²＞2c²
(1)/(e2)-4+e²＞0，
e⁴-4e²+1＞0
（e²-2）²-3＞0
e²-2＜-√(3)（0＜e＜1）
e²＜-

作业帮用户 2016-12-13

问题解析

由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=(b2)/(a)或y＝−(b2)/(a)，所以圆的半径为(b2)/(a)，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=√(((b2)/(a))2−c2)，由∠PQM为钝角，知((a2−c2)2)/(2c2)＞2c2，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．

名师点评

本题考点：

圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：

本题考查椭圆的离心率的取值范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议