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将编号为1,2,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.(注:如
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将编号为1,2,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) |
▼优质解答
答案和解析
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九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列,故共有8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有 种.…5分 下求使S达到最小值的放法数:在圆周上,从1到9有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设 是依次排列于这段弧上的小球号码,则 上式取等号当且仅当 ,即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列. 因此 .…………………………………………………………………10分 由上知,当每个弧段上的球号 确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在1,2,…,9中,除1与9外,剩下7个球号2,3,…,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个子集共有 种情况,每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法,即有利事件总数是 种,故所求概率 ……………20分 |
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