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如图,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=70°,以点O为圆心,6为半径的优弧MN分别交OA、OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转70°得OP′.求证:AP=BP′;(2)点T在左半
题目详情
如图,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=70°,以点O为圆心,6为半径的优弧
分别交OA、OB于点M,N.
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转70°得OP′.求证:AP=BP′;
(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;
(3)设点Q在优弧
上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.
MN |
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转70°得OP′.求证:AP=BP′;
(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;
(3)设点Q在优弧
MN |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,
∴∠AOP=∠BOP′,
∵在△AOP和△BOP′中
,
∴△AOP≌△BOP′(SAS),
∴AP=BP′;
(2) 如图1,连接OT,过点T作TH⊥OA于点H,
∵AT是 O的切线,
∴∠ATO=90°,
∴AT=
=
=8,
∵
×OA×TH=
×AT×OT,
即
×10×TH=
×8×6,
解得:TH=
,即点T到OA的距离为
;
(3) 如图2,当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大;
理由:∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°,
当Q点在优弧
右侧上,
∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-70°=20°,
综上所述:当∠BOQ的度数为20°或160°时,△AOQ的面积最大.
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,
∴∠AOP=∠BOP′,
∵在△AOP和△BOP′中
|
∴△AOP≌△BOP′(SAS),
∴AP=BP′;
(2) 如图1,连接OT,过点T作TH⊥OA于点H,
∵AT是 O的切线,
∴∠ATO=90°,
∴AT=
OA2-OT2 |
102-62 |
∵
1 |
2 |
1 |
2 |
即
1 |
2 |
1 |
2 |
解得:TH=
24 |
5 |
24 |
5 |
(3) 如图2,当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大;
理由:∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°,
当Q点在优弧
MN |
∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大,
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-70°=20°,
综上所述:当∠BOQ的度数为20°或160°时,△AOQ的面积最大.
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