一道关于周长与面积问题当周长一定时,长和宽越接近,面积越大,当为正方形时,那面积最大.当周长一定时,并利用一面墙时,围成一个长方形,什么时候面积最大,是正方形吗?

Question

一道关于周长与面积问题
当周长一定时,长和宽越接近,面积越大,当为正方形时,那面积最大.当周长一定时,并利用一面墙时,围成一个长方形,什么时候面积最大,是正方形吗?

Answer 1

设与墙平行的一边为a,与墙垂直的边为b.
则2a+b=k(k为定值) 所以,b=K-2a
长方形的面积S=ab=a(k-2a)=-2a²+ka=-2[a²-k/2a+(k/4)²-k²/16]=-2[(a-k/4)²-k²/16]
=-2(a-k/4)²+k²/8
所以,当a=k/4时,S有最大值k²/8.
此时,b=k-2×k/4=k/2
所以,当与墙平行的一边为k/4,与墙垂直的边为k/2时,面积有最大值k²/8.此时,长是宽的2倍.