设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是．

Question

设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是___．

Answer 1

动直线x+my=0过定点A（0，0），
动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B（1，3）．
无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．
∴点P在以AB为直径的圆上，
|AB|=√(12+32)=√(10)，|PA|²+|PB|²=10．
∴√(2(|PA|2+|PB|2))≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=√(5)时取等号．
∴2√(5)≥|PA|+|PB|≥√(10)．
∴|PA|+|PB|的最大值为2√(5)
故答案为：2√(5)