三角形ABC中,已知AB=2根号7,BC=3根号7,AC=7,D是AC上一点,将三角形ABC沿BD折起,得到三棱锥A-BCD,若该三角锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上,设BM=x,则x的取值范围为（）A.(0,2根号7）B.(0,根号7）C.（

Question

三角形ABC中,已知AB=2根号7,BC=3根号7,AC=7,D是AC上一点,将三角形ABC沿BD折起,得到三棱锥A-BCD,若该三角锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上,设BM=x,则x的取值范围为（）
A.(0,2根号7）B.(0,根号7）C.（根号7,2根号7）,D（2根号7,3根号7）

Answer 1

1.因为在三角形ABC中,cosC=2√7/7,cos∠DBC=5√7/14
则∠C和∠DBC都是锐角
所以由三角函数基本关系式得：
sinC=√21/7,sin∠DBC=5√7/14＝√21/14
在三角形BCD中,∠BDC=180°-∠C-∠DBC
则cos∠BDC=cos(180°∠C-∠DBC)
=-cos(∠C+∠DBC)
=－cos∠C*cos∠DBC+sin∠Csin∠DBC
=-(2√7/7)*(5√7/14)+(√21/7)*(√21/14)
=-5/7 +3/14
=-1/2
所以得∠BDC=120°
2.因为|AD|=2|DC|,所以|AC|=3/2 *|AD|,|DC|=|AD|/2
因为|AB|=2,cosC=2√7/7,cos∠DBC=5√7/14
所以在三角形ABC中,由余弦定理得：
|AB|²=|BC|²+|AC|²-2|BC|*|AC|*cosC
则4=|BC|²+9/4 *|AD|²-3|BC|*|AD|*(2√7/7) (*)
在三角形BCD中,由正弦定理得：
|CD|/sin∠DBC=|BC|/sin∠BDC
由第1小题知sin∠DBC=√21/14,∠BDC=120°,且|DC|=|AD|/2
所以(|AD|/2)/(√21/14)=|BC|/sin120°
化简整理可得：|BC|=(√7/2)*|AD|
将上式代入(*)式得：
4=(7/4)*|AD|²+(9/4)*|AD|²-3(√7/2)*|AD|*|AD|*(2√7/7)
化简得|AD|²=4
所以|AD|=2,|BC|=(√7/2)*|AD|=√7
又向量AD与向量CB的夹角就是内角∠C的补角
所以数量积向量AD点乘CB
=|AD|*|CB|*cos(180°-∠C)
= - |AD|*|CB|*cos∠C
= - 2*√7*2√7/7
=-4