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如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为.
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如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 .
▼优质解答
答案和解析
如图,连OI,PI,AI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-(∠HOP+∠OPH)=135°,并且易证△OPI≌△OAI,得到∠AIO=∠PIO=135°,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,在优弧AO取点P,连PA,PO,可得∠APO=180°-135°=45°,得∠AOO=90°,O′O=OA=×2=,然后利用弧长公式计算弧OA的长.
【解析】
如图,连OI,PI,AI,
∵△OPH的内心为I,
∴∠IOP=∠IOA,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-(∠HOP+∠OPH),
而PH⊥OA,即∠PHO=90°,
∴∠PIO=180°-(∠HOP+∠OPH)=180°-(180°-90°)=135°,
又∵OP=OA,OI公共,
而∠IOP=∠IOA,
∴△OPI≌△OAI,
∴∠AIO=∠PIO=135°,
所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;
过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,
在优弧AO取点P,连PA,PO,
∵∠AIO=135°,
∴∠APO=180°-135°=45°,
∴∠AOO=90°,而OA=2cm,
∴O′O=OA=×2=,
∴弧OA的长==(cm),
所以内心I所经过的路径长为cm.
故答案为:cm.
【解析】
如图,连OI,PI,AI,
∵△OPH的内心为I,
∴∠IOP=∠IOA,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-(∠HOP+∠OPH),
而PH⊥OA,即∠PHO=90°,
∴∠PIO=180°-(∠HOP+∠OPH)=180°-(180°-90°)=135°,
又∵OP=OA,OI公共,
而∠IOP=∠IOA,
∴△OPI≌△OAI,
∴∠AIO=∠PIO=135°,
所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;
过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,
在优弧AO取点P,连PA,PO,
∵∠AIO=135°,
∴∠APO=180°-135°=45°,
∴∠AOO=90°,而OA=2cm,
∴O′O=OA=×2=,
∴弧OA的长==(cm),
所以内心I所经过的路径长为cm.
故答案为:cm.
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