数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外角、重心、垂心,依次为于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离得一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线,已知三角形ABC的顶点A(2,0),B

Question

数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外角、重心、垂心,依次为于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离得一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线,已知三角形ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是（ ）
写出具体的解题过程

Answer 1

根据A、B的坐标,得到L(AB)：Y= -2x + 4得到AB中点为：D（1,2）,直线AB的斜率为（-2）,则AB的中垂线L1经过D,其斜率为（-1）/（-2）=1/2,假设三角形ABC外心是O,则OD垂直AB,根据点斜法求得OD所在直线L2：X-2Y+3=0,又因为O在欧拉线X-Y+2=0上,故联立其与L(AB)可得其坐标为:O(-1,1),根据勾股定理,OA平方=10
所以三角形ABC外接圆的方程为：（X+1）^2+（Y-1）^2=10…①
再求得欧拉线与AB相交于E（2/3,8/3）,因为D是AB中点,故CE只可能是AB边上的高,即CE垂直于AB,则L（CE）斜率为1/2,求得L(CE):3X-6Y+14=0…②,
联立①②求得,点C横坐标为：（-4+2√17）/3或者（-4-2√17）/3,以及纵坐标为（5+√17）/3或者（5-√17）/3.
经验证,前者不符,故点C坐标为【（-4-2√17）/3,（5-√17）/3】