如图，已知单位圆上两点P，Q关于直线y=x对称，且以x轴正半轴为始边、以射线OP为终边的角的大小为x．（1）求点P，Q的坐标；（2）若另有两点M（1，-1），N（-1，1），记f（x）=MP•NQ．当点P

Question

如图，已知单位圆上两点P，Q关于直线y=x对称，且以x轴正半轴为始边、以射线OP为终边的角的大小为x．
（1）求点P，Q的坐标；
（2）若另有两点M（1，-1），N（-1，1），记f（x）=

MP

•

NQ

．
当点P在上半圆上运动（含与 x轴的交点）时，求函数f（x）的表达式；
（3）求函数f（x）最大值．

Answer 1

（1）由题意可得点P（cosx，sinx），
由对称性可得Q的坐标（sinx，cosx）；
（2）又∵M（1，-1），N（-1，1），
∴

MP

=（cosx-1，sinx+1），

NQ

=（sinx+1，cosx-1），
∴f（x）=

MP

•

NQ

=2（cosx-1）（sinx+1），x∈[0，π]；
（3）由（2）知函数f（x）=2（cosx-1）（sinx+1），x∈[0，π]，
化简可得f（x）=2sinxcosx+2（cosx-sinx）-2，
令cosx-sinx=t，则t=cosx-sinx=√(2)cos（x+(π)/(4)）∈[-1，(√(2))/(2)]，
∴t²=1-2sinxcosx，代入上式可得y=1-t²+2t-2=-（t-1）²，
由二次函数的知识可知当t=(√(2))/(2)时，上式取最大值

2

作业帮用户 2016-11-24

问题解析

（1）由三角函数的定义可得点P，由对称性可得Q的坐标；（2）可得

MP

和

NQ

的坐标，由数量积的运算可得f（x）的表达式；（3）由三角函数的知识，结合换元法和二次函数区间的最值可求．

名师点评

本题考点：

两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．

考点点评：

本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和二次函数区间的最值，属中档题．

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