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如图,A为双曲线M:x2-y2=1的右顶点,平面上的动点P到点A的距离与到直线l:x=-1的距离相等.(Ⅰ)求动点P的轨迹N的方程;(Ⅱ)已知双曲线M的两条渐近线分别与轨迹N交于点B,C(异于原
题目详情
如图,A为双曲线M:x2-y2=1的右顶点,平面上的动点P到点A的距离与到直线l:x=-1的距离相等.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹N的方程;
(Ⅱ)已知双曲线M的两条渐近线分别与轨迹N交于点B,C(异于原点).试问双曲线M上是否存在一点D,满足
•
=
2?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹N的方程;
(Ⅱ)已知双曲线M的两条渐近线分别与轨迹N交于点B,C(异于原点).试问双曲线M上是否存在一点D,满足
DB |
DC |
DA |
▼优质解答
答案和解析
(1)方法一:依题意,A(1,0)
设点P(x,y),点P到直线l的距离为d,则|PA|=d
即
=|x+1|,化简得:y2=4x
方法二:依题意,A(1,0)
由抛物线定义知:动点P的轨迹N是以A(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)双曲线M的渐近线方程为y=±x
联立抛物线方程y2=4x,可得点B(4,4)、C(4,-4)
设点D(x,y),则|x|≥1
若
•
=
2,则(x-4)2+y2-16=(x-1)2+y2
∴x=−
∵|x|≥1,∴不存在点D满足题意.
设点P(x,y),点P到直线l的距离为d,则|PA|=d
即
(x−1)2+y2 |
方法二:依题意,A(1,0)
由抛物线定义知:动点P的轨迹N是以A(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)双曲线M的渐近线方程为y=±x
联立抛物线方程y2=4x,可得点B(4,4)、C(4,-4)
设点D(x,y),则|x|≥1
若
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DC |
DA |
∴x=−
1 |
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∵|x|≥1,∴不存在点D满足题意.
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