如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=45，边OA=4．（1）求C点的坐标；（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，

Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4√(5)，边OA=4．

（1）求C点的坐标；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的函数关系式；
（3）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，问能否找到合适的点M和点N使以点M、A、D、N为顶点的四边形是菱形？如果能找到，请直接写出点M的坐标；如果找不到，请说明原因．

Answer 1

（1）∵AC=4√(5)，边OA=4．
∴OC=√(AC2-OA2)=√((4√(5))2-42)=8，
∴C（8，0）．
（2）如图1所示，连接AD，CE，

∵矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴DE、AC互相垂直平分，
∴AD=CD=AE=CE，
设OD=x，则AD=CD=8-x，
在Rt△AOD中：AD²=OA²+OD²，
即（8-x）²=x²+16，
解得：x=3，
∴OD=3，CD=AE=5，
∴D（3，0），E（5，4），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
将D、E坐标代入得：

3k+b=0

5k+b=4

解得：

k=2

b=-6

，
∴直线DE的解析式为y=2x-6．
（3）如图2所示，

设M（0，m）
∵OA=4，OD=3，
∴AD=√(0A2+OC2)=√(42+32)=5，
①当AD是菱形的一条边是，AN=AD，
即|4-m|=5，
解得：m₁=9，m₂=-1，
∴M₁（0，9），M₂（0，-1）．
②当AD是菱形的对角线时，AM=DM，
即（4-m）²=m²+3²，
解得：m=(7)/(8)，
∴M₃（0，