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不动点的基本问题设函数f(x)在R上定义,把满足f(x*)=x*的点称为f(x)的不动点.证明：若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点.＝＝＝＝（我只知道你过来的证明.我想f[f(x)]存在唯一不动点
题目详情
不动点的基本问题
设函数f(x)在R上定义,把满足f(x*)=x*的点称为f(x)的不动点.证明：若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点.
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（我只知道你过来的证明.我想f[f(x)]存在唯一不动点的意思是存在f[f(x)]＝x是吧）
设函数f(x)在R上定义,把满足f(x*)=x*的点称为f(x)的不动点.证明：若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点.
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（我只知道你过来的证明.我想f[f(x)]存在唯一不动点的意思是存在f[f(x)]＝x是吧）
▼优质解答
答案和解析
证明:存在性
由已知,存在唯一x0,使得
f(f(x0))=x0
所以f(f(f(x0))=f(x0)
则f(x0)也是f(f(x))的一个不动点,由唯一性
f(x0)=x0
所以x0是f的一个不动点
唯一性
假设存在x1也是f(x)的不动点,且x0≠x1
则f(f(x1))=f(x1)=x1,则x1是f(f(x))的不动点
由于f(f(x))的不动点唯一,所以x1=x0,矛盾!
所以f(x)的不动点唯一
由已知,存在唯一x0,使得
f(f(x0))=x0
所以f(f(f(x0))=f(x0)
则f(x0)也是f(f(x))的一个不动点,由唯一性
f(x0)=x0
所以x0是f的一个不动点
唯一性
假设存在x1也是f(x)的不动点,且x0≠x1
则f(f(x1))=f(x1)=x1,则x1是f(f(x))的不动点
由于f(f(x))的不动点唯一,所以x1=x0,矛盾!
所以f(x)的不动点唯一
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