圆x2+y2=9的切线MT过双曲线x29-y212=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|-|PT|=．

Question

圆x²+y²=9的切线MT过双曲线 (x2)/(9)- (y2)/(12)=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|-|PT|=___．

Answer 1

设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，
∴|PO|=(1)/(2)|PF′|，|PT|=(1)/(2)|MF|-|FT|，
根据双曲线的方程得：
a=3，b=2√(3)，c=√(21)，
∴|OF|=√(21)，
∵MF是圆x²+y²=9的切线，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=√(丨OF丨2-丨OT丨2)=2√(3)，
∴|PO|-|PT|=(1)/(2)|PF′|-（(1)/(2)|MF|-|FT|）=|FT|-(1)/(2)（|PF|-|PF′|）=2√(3)-3，
故答案为：2√(3)-3．