已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2。（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O

Question

已知圆O：x ² +y ² =2，直线l：y=kx-2。
（1）若直线l与圆O相切，求k的值；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
（3）若 ，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点。

Answer 1

（1）由圆心O到直线l的距离
可得k=±1。
（2）设A，B的坐标分别为（x ₁ ，y ₁ ），（x ₂ ，y ₂ ），
将直线l：y=kx-2代入x ² +y ² =2，
整理，得（1+k ² ）·x ² -4kx+2=0，
所以
Δ=（-4k） ² -8（1+k ² ）>0，即k ² >1
当∠AOB为锐角时，
则

可得k ² ＜3，
又因为k ² >1，
故k的取值范围为 或 。
（3）设切点C，D的坐标分别为（x ₁ ，y ₁ ），（x ₂ ，y ₂ ），
动点P的坐标为（x ₀ ，y ₀ ），则过切点C的切线方程为：x·x ₁ +y·y ₁ =2，
所以x ₀ ·x ₁ +y ₀ ·y ₁ =2
同理，过切点D的切线方程为：x ₀ ·x ₂ +y ₀ ·y ₂ =2，
所以过C，D的直线方程为：x ₀ ·x+y ₀ ·y=2
又 ，将其代入上式并化简整理，
得 ，而x ₀ ∈R，
故 且-2y-2=0，可得 ，y=-1，
即直线CD过定点 。