已知双曲线的两条渐近线为L1:y=[3]x和L2:y=-[3]x,其焦点在x轴上,实轴长为2设M是双曲线上不同于顶点的任意一点,过M作双曲线切线交右准线于N,F为右焦点,求证→→FM*FN为定值.{证向量FM乘向量FN

Question

已知双曲线的两条渐近线为L1:y=[3]x和L2:y=-[3]x,其焦点在x轴上,实轴长为2
设M是双曲线上不同于顶点的任意一点,过M作双曲线切线交右准线于N,F为右焦点,求证→ →
FM* FN 为定值.
{证向量FM乘向量FN为定值.}

Answer 1

[你那个[3]是不是根号3啊?根号3可以写成3^0.5,即"3的0.5次方"]
[基本思路:应用导数和斜率公式建立M与N的关系式,从而论证结论]
证明:
由已知易得双曲线方程C:x^2/4-y^2/12=1,则F(4,0)
设M(x1,y1)且y1>0[由于双曲线关于X轴对称,而焦点只能在右准线上,所以只需证结论在上半部成立即可]
N(1,y2)[N在右准线x=1上],则向量FM=(x1-4,y1),向量FN=(-3,y2)
∴向量FM·向量FN=-3x1+y1y2+12……(*)
∵M在C上
∴x1^2/4-y1^2/12=1,即y^2=3x^2-12……①
将C化为函数形式(只考虑上半部)y=f(x)=(3x^2-12)^0.5(y>0)
∴k(MN)=f'(x1)=3x1/(3x1^2-12)^0.5=(y1-y2)/(x1-1)[这个如果不用导数,则写直线方程联立C,求△=0也一样]
化简即:y2=3x1(x1-1)/(3x1^2-12)^0.5,代入①可化简,得:y2=y1-3x1(x1-1)/y1……②
②代入(*)式得:-3x1-3x1(x1-1)+y1^2+12=-3x1^2+y1^2+12=-12+12=0
∴向量FM·向量FN=0为定值