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设a,b为实常数,k取任意实数时,y=(k2+k+1)x2-2(a+k2)x+(k2+3ak+b)的图象与x轴都交于点A(1,0).求a,b的值;若函数与x轴的另一个交点为B,当k变化时,求|AB|的最大值.
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设a,b为实常数,k取任意实数时,y=(k2+k+1)x2-2(a+k2)x+(k2+3ak+b)的图象与x轴都交于点A(1,0).求a,b的值;若函数与x轴的另一个交点为B,当k变化时,求|AB|的最大值.
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答案和解析
∵k取任意实数时,y=(k2+k+1)x2-2(a+k2)x+(k2+3ak+b)的图象与x轴都交于点A(1,0).
∴(k2+k+1)-2(a+k2)+(k2+3ak+b)=0恒成立,
∴k(1-a)+1+b-2a2=0恒成立,
∴1-a=0且1+b-2a2=0
解得a=1,b=1
设B为(m,0),则|AB|=|m-1|.
∵m、1是(k2+k+1)x2-2(1+k2)x+(k2+3k+1)=0 的两根,
∴1×m=
即(1-m)k2+(3-m)k+(1-m)=0有实根
∵△=(3-m)2-4(1-m)2≥0
即3m2-2m-5≤0
解得-2≤m-1≤
∴|AB|=|m-1|≤2,当k=-1时,等号成立.
∴|AB|的最大值为2.
∴(k2+k+1)-2(a+k2)+(k2+3ak+b)=0恒成立,
∴k(1-a)+1+b-2a2=0恒成立,
∴1-a=0且1+b-2a2=0
解得a=1,b=1
设B为(m,0),则|AB|=|m-1|.
∵m、1是(k2+k+1)x2-2(1+k2)x+(k2+3k+1)=0 的两根,
∴1×m=
k2+3k+1 |
k2+k+1 |
即(1-m)k2+(3-m)k+(1-m)=0有实根
∵△=(3-m)2-4(1-m)2≥0
即3m2-2m-5≤0
解得-2≤m-1≤
2 |
3 |
∴|AB|=|m-1|≤2,当k=-1时,等号成立.
∴|AB|的最大值为2.
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