已知数列an的通项公式是an=2*3^(n-1)+(-1)^n*(ln2-ln3)+(-1)^n*n*ln3,求其前n项和Sn3^n+(n/2)*ln3-1,n为偶数时3^n-(n-1/2)*ln3-ln2-1,n为奇数时

Question

已知数列an的通项公式是an=2*3^(n-1)+(-1)^n*(ln2-ln3)+(-1)^n*n*ln3,求其前n项和Sn
3^n+(n/2)*ln3-1,n为偶数时 3^n-(n-1/2)*ln3-ln2-1 ,n为奇数时

Answer 1

令bn=2×3ⁿ⁻¹,cn=（-1）ⁿ（ln2-ln3）,dn=（-1）ⁿnln3,bn、cn、dn的前n项和为Bn,Cn,Dn.
则an=bn+cn+dn,Sn=Bn+Cn+Dn.
Bn=b1×（1-qⁿ）/（1-q）=3ⁿ-1.
当n=2k-1时,cn=ln3-ln2,dn=-nln3；当n=2k时,cn=ln2-ln3,dn=nln3.
对于Cn：当n=2k-1时,Cn=ln3-ln2；当n=2k时,Cn=0.
对于Dn：
当n=2k-1时：
Dn=（-ln3+2ln3-...+（n-1）ln3-nln3）=（2-1+4-3+...+（（n-1）-（n-2）-n）ln3=-（n+1）/2×ln3.
当n=2k时：
D=ln3（2-1+4-3+...+n-（n-1）=n/2×ln3
综上,当n=2k-1时,Sn=Bn+Cn+Dn=3ⁿ-（n-1）/2×ln3-ln2-1；
当n=2k时,Sn=Bn+Cn+Dn=3ⁿ+n/2×ln3-1.