在等比数列{an}中,q为公比,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+t.求证：（1）am·an=ap·at；（2）an=am·q^n-m.

Question

在等比数列{an}中,q为公比,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+t.
求证：（1）am·an=ap·at；（2）an=am·q^n-m.

Answer 1

解设首项为a1,公比为q
则an=a1*（q）^(n-1）
am=a1*（q）^(m-1）
ap=a1*（q）^(p-1）
at=a1*（q）^(t-1）
即am·an=a1*（q）^(n-1）*a1*（q）^(m-1）
=a1²*（q）^(m+n-1）
ap·at=a1*（q）^(p-1）*a1*（q）^(t-1）
=a1²*（q）^(p+t-1）
由m+n=p+t
即（q）^(m+n-1）=（q）^(p+t-1）
即a1²*（q）^(m+n-1）=a1²*（q）^(p+t-1）
即am·an=ap·at
2 由an=a1*（q）^(n-1）
am=a1*（q）^(m-1）
两式相除得
an/am=a1*（q）^(n-1）/a1*（q）^(m-1）
=（q）^(n-1）/a1*（q）^(m-1）
=（q）^(n-m）
即an/am=（q）^(n-m）
即an=am·q^n-m.
对不起,我看见你的信息晚了.