(2008•普陀区一模)定义:将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列{an}的首项、公比均为12.(1)试求无穷等比子数列{a3k-
(2008•普陀区一模)定义:将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列{an}的首项、公比均为.
(1)试求无穷等比子数列{a3k-1}(k∈N*)各项的和;
(2)是否存在数列{an}的一个无穷等比子数列,使得它各项的和为?若存在,求出满足条件的子数列的通项公式;若不存在,请说明理由;
(3)试设计一个数学问题,研究:是否存在数列{an}的两个不同的无穷等比子数列,使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.
答案和解析
(1)依条件得:
a3k−1=(k∈N*),
∴无穷等比子数列{a3k-1}的首项为a2=,公比为,
则无穷等比数列{a3k-1}各项的和为:==;
(2)设此子数列的首项为a1,公比为q,由条件得:0<q≤,
则≤1−q<1,即 1<≤2,
∴a1=(1−q)∈[ ,)
而 a1= (m∈N*),
则 a1= ,q=,
所以,满足条件的无穷等比子数列存在且唯一,它的首项、公比均为,
其通项公式为an=()n,n∈N*;
(3)问题:是否存在数列{an}的两个不同的无穷等比子数列,使得它们各项的和互为倒数?若存在,求出所有满足条件的子数列;若不存在,说明理由.
假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列,使它们的各项和之积为1.设这两个子数列的首项、公比分别为、和、1 |
作业帮用户
2017-10-16
- 问题解析
- (1)由已知无穷等比数列{an}的首项与公比,得到无穷等比子数列{a3k-1}的通项公式,得到无穷等比子数列{a3k-1}的首项与公比,即可求出无穷等比子数列{a3k-1}各项的和;
(2)存在,理由为:设出子数列的首项与公比,根据题意得到q的范围为0<q≤,进而求出1-q的范围,得到的范围,令各项的和等于,表示出首项a1,根据1-q的范围,求出a1的范围,而根据题意得a1=(m为正整数),可得a1及q的值,故满足题意的无穷子数列存在且唯一,根据求出的a1和q的值,写出其通项公式即可; (3)根据题意设计问题为:是否存在数列{an}的两个不同的无穷等比子数列,使得它们各项的和互为倒数?若存在,求出所有满足条件的子数列;若不存在,说明理由.不存在,理由是:分别设出这两个子数列的首项、公比分别为、和、,分别表示出各项的和,根据乘积为1,得到关系式,化简后,根据m,n,a,b为正整数,得到左边可能为偶数或分数,而右边只能为奇数,故等式不可能成立,则这样的两个子数列不存在.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 等比数列的性质.
-
- 考点点评:
- 此题考查了等差数列的性质,等差数列的通项公式,以及无穷数列的各项和公式,同时本题属于新定义及结论探索性问题,这类试题的一般解法是:充分抓住已知条件,找准问题的突破点,由浅入深,多角度、多侧面探寻,联系符合题设的有关知识,合理组合发现新结论,围绕所探究的结论环环相扣,步步逼近发现规律,得出结论.熟练掌握公式及性质是解本题的关键.
扫描下载二维码
|
小欣实验时用量筒量取蒸馏水,量筒放平稳后,初次读数时俯视液体凹液面的最低处读数为10毫升,加入部分 2020-04-07 …
一道奥数题,请用二元一次方程的过程求解:有五个数,小明求出前三个数的平均数为a,后两个数的平均数为 2020-04-26 …
某同学在用量筒量取水时,开始先仰视读数为20mL,然后倒掉部分水后再俯视读数为10mL,则该同学实 2020-05-14 …
在一个双链dna分子中,碱基总数为m,腺嘌呤碱基数为n,以下有关结构数目不正确的是,A碱基之间的氢 2020-05-17 …
有14个数据,有小到大排列,其平均数为34,现在有一位同学求得这组数据的前8个数的平均数为32,后 2020-06-04 …
已知一组数据的平均数为3,中位数为3.5,方差为2,则将每个数据扩大到原来的3倍,并加上3后的新数 2020-06-10 …
π为什么不是循环小数?π为什么不是有理数?无理数为什么是无理数?人们为什么知道无理数是无理数?π后 2020-06-27 …
7.将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数,(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8 2020-07-05 …
某同学在用量筒量取水时,开始先仰视读数为20mL,然后倒掉部分水后再俯视读数为10mL,则该同学实 2020-07-13 …
编写一个程序用户键盘输入被除数和除数然后计算并输出商.如果用户输入的除数为0,且被除数为负数,则计 2020-07-13 …