已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是．

Question

已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为(√(3))/(2)，则这个三角形的周长是______．

Answer 1

不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a-b=b-c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA=(√(3))/(2)，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因为三条边不相等，
则必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA=(b2+c2−a2)/(2bc)
=((c+2)2+c2−(c+4)2)/(2bc)
=(c−6)/(2c)
=-(1)/(2)．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
故选D．