（2014•资阳）如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，

Question

（2014•资阳）如图，已知直线l₁∥l₂，线段AB在直线l₁上，BC垂直于l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE；
（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．
①当(BC)/(BP)=2时，求证：AP⊥BD；
②当(BC)/(BP)=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S₁，△PCE的面积为S₂，求(S1)/(S2)的值．

Answer 1

（1）证明：∵BC⊥直线l₁，
∴∠ABP=∠CBE，
在△ABP和△CBE中

AB＝BC

∠ABP＝∠CBE

BP＝BE

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①证明：连结BD，延长AP交CE于点H，
∵△ABP≌△CBE，
∴∠APB=∠CEB，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB+∠CEB=90°，
∴AH⊥CE，
∵(BC)/(BP)=2，即P为BC的中点，直线l₁∥直线l₂，
∴△CPD∽△BPE，
∴(DP)/(PE)=(CP)/(BP)=(1)/(1)，
∴DP=PE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE∥BD，
∵AH⊥CE，
∴AP⊥BD；

②∵(BC)/(BP)=n，
∴BC=n•BP，
∴CP=（n-1）•BP，
∵CD∥BE，
易得△CPD∽△BPE，
∴(PD)/(PE)=(PC)/(PB)=n-1，
设△PBE的面积S_△PBE=S，则△PCE的面积S_△PCE满足(S△PCE)/(S△PBE)＝(PC)/(PB)=n-1，
即S₂=（n-1）S，
∵S_△PAB=S_△BCE=n•S，
∴S_△PAE=（n+1）•S，
∵(S△PAD)/(S△PAE)=(PD)/(PE)=n-1，
∴S₁=（n-1）•S_△PAE，即S₁=（n+1）（n-1）•S，
∴(S1)/(S2)=((n+1)(n−1)S)/((n−1)S)=n+1．