已知长方形的四个顶点A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角)．设的坐标为．若，求tan

Question

已知长方形的四个顶点A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角)．设的坐标为．若，求tanθ的取值范围．____

Answer 1

【分析】本题可以画出图形，由∠P₁P₀B=θ，利用对称性得到角的关系∠P₁P₂C=∠P₃P₂D=∠AP₄P₃=θ，然后利用三角比来解答，可以设P₁B=x，得到这些角的三角比值关于x的关系式，再由P₄的坐标为(x₄，0)以及1＜x₄＜2，可解得tanθ的取值范围．

设P₁B=x，
∠P₁P₀B=θ，则CP₁=1-x，
∠P₁P₂C、∠P₃P₂D、∠AP₄P₃均为θ，
∴tanθ==x．
又tanθ===x，
∴CP₂==-1．
而tanθ====x，
∴DP₃=x(3-)=3x-1．
又tanθ====x，
∴AP₄==-3．
依题设1<AP₄<2，即1-3<2，
∴45，>>．
∴>tanθ>．

【点评】本题考查三角比的概念以及利用三角比解答相关问题的能力，轴对称图形的应用，对解不等式及不等式思想的考查等内容．