任意给定一个正三角形：是否存在另一个正三角形,它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍?是否存在另一个正三角形,它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的一半?任

Question

任意给定一个正三角形：

是否存在另一个正三角形,它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍?

是否存在另一个正三角形,它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的一半?

任意给定一个矩形：

是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的3倍?


是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的1/3?

Answer 1

是否存在另一个正三角形,它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍?
答：不存在.因为正三角形的三个角都为60°,所以所有的正三角形都相似.
如果另一个正三角形的周长是已知正三角形的2倍,那么它们的相似比为2,那么另一个正三角形的面积就是已知正三角形的4倍（相似比的平方）,所以,不存在符合条件的正三角形.

是否存在另一个正三角形,它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的一半?
答：也不存在.
因为正三角形的三个角都为60°,所以所有的正三角形都相似.
如果另一个正三角形的周长是已知正三角形的一半,那么它们的相似比为1/2,那么另一个正三角形的面积就是已知正三角形的1/4（相似比的平方）,所以,不存在符合条件的正三角形.


是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的3倍?
答：设原矩形的边长分别为a和b（a≠b）,另一矩形的边长分别为x和y,令x+y=3(a+b),xy=3ab,对于关于t的方程：
t平方-3(a+b)t+3ab=0
△=9(a+b)平方-12ab
=9a平方+6ab+9b平方
=(3a+b)平方+8b平方>0
易得出,该方程有两个不同实根,且都为正根
故存在所求的矩形


是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的1/3?
可类似证明.