（2012•鹰潭一模）在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Question

（2012•鹰潭一模）在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；
（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．
又△ABC为正三角形，G为AB中点
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF⊂平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE．
（II）取AC中点M，连接BM、DM，
∵△ABC为正三角形，M为AC中点，
∴BM⊥AC．
又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC，
∴BM⊥平面ACDE．
∴∠BDM为所求的线面角．
又因为△ABC为正三角形且AB=2，
所以BM=√(3)，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥BC，
所以BD=√(5)，
所以cos∠BDM=(√(10))/(5)故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为(√(10))/(5)．