高数第五版的21页第5题题中的f^-1()不是f的逆映射吗?这样f:X->Y不就是单射吗?为什么还有第一问f^1(f(A))包含A?这道题怎么解?

Question

高数第五版的21页第5题
题中的f^-1()不是f的逆映射吗?这样f:X->Y不就是单射吗?为什么还有第一问f^1(f(A))包含A?这道题怎么解?

Answer 1

首先要说明一点,这是个记号问题,这里f^-1(f(A))不是指f(A)的逆映射,而是指所有经过映射f:X→Y转变后可以得到f(A)的元素的集合,这里的原象不具有单射关系.
可以这么做记号就好理解些,记f(A)的原象是集合B,这个集合B是指所有经过映射f:X→Y转变后可以得到f(A)的元素的集合.
第一问的证明如下:
要证明A包含于f^-1(f(A)),可以用集合的最基本的证明方法.
即,任取元素∈A,都有元素∈f^-1(f(A)).
根据题意可以建立映射f:A→f(A),其中A包含于X,f(A)包含于Y
根据映射定义,f:A→f(A)中集合A中的所有元素必通过映射f:X→Y得到f(A),即A
是通过映射得到f(A)的一个集合.
又,∵f^-1(f(A))是f(A)的原象,则有f(f^-1(f(A)))=f(A),即f^-1(f(A))为所有通过映射f:X→Y,取得f(A)的元素的集合.
则,任取x∈A,必有x∈f^-1(f(A))→A包含于f^-1(f(A))
第二问也可以这么证明,根据单射,可以推导出,(怎么推导就不写了..你把f^-1(f(A))是意义弄明白就都好办了)任取x∈f^-1(f(A)),有x∈A,则f^-1(f(A))包含于A.根据上问,A包含于f^-1(f(A)),所以A=f^-1(f(A))