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定义区间(a,b),[a,b),(a,b][a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如(1,2)∪(3,5)的长度为d=(2-1)+(5-3)=3,用[x]表示不超过x的最大整数,记<x>
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定义区间(a,b),[a,b),(a,b][a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如(1,2)∪(3,5)的长度为d=(2-1)+(5-3)=3,用[x]表示不超过x的最大整数,记<x>=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•<x>,g(x)=2x-[x]-2,若d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x)、方程f(x)=g(x)、不等式f(x)<g(x)解集的长度,则当0≤x≤2012时,有( )
A.d1=2,d2=0,d3=2010
B.d1=1,d2=1,d3=2010
C.d1=2,d2=1,d3=2009
D.d1=2,d2=2,d3=2008
A.d1=2,d2=0,d3=2010
B.d1=1,d2=1,d3=2010
C.d1=2,d2=1,d3=2009
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▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=[x]•<x>=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=2x-[x]-2,
f(x)>g(x),等价于[x]x-[x]2>2x-[x]-2,即([x]-2)x>[x]2-[x]-2,即 ([x]-2)x>([x]-2)([x]+1).
当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x<1,∴x∈[0,1);
当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x<2,∴x∈[1,2);
当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为 0>0,∴x∈∅;
当x∈[3,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x>[x]+1,∴x∈∅;
∴f(x)>g(x)在0≤x≤2012时的解集为[0,2),故d1=2.
f(x)=g(x)等价于[x]x-[x]2 =2x-[x]-2,即([x]-2)x=[x]2-[x]-2,
当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x=1,∴x∈∅;
当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x=2,∴x∈∅;
当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为0=0,∴x∈[2,3);
当x∈[3,2012]时,[x]-2>0,上式可化为x=[x]+1,∴x∈∅;
∴f(x)=g(x)在0≤x≤2012时的解集为[2,3),故d2=1.
f(x)<g(x)等价于[x]x-[x]2 <2x-[x]-2,即([x]-2)x<[x]2-[x]-2,
当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x>1,∴x∈∅;
当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x>2,∴x∈∅;
当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为 0<0,∴x∈∅;
当x∈[3,2012]时,[x]-2>0,上式可化为x<[x]+1,∴x∈[3,2012];
∴f(x)<g(x)在0≤x≤2012时的解集为[3,2012],故d3=2009.
故选C.
f(x)>g(x),等价于[x]x-[x]2>2x-[x]-2,即([x]-2)x>[x]2-[x]-2,即 ([x]-2)x>([x]-2)([x]+1).
当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x<1,∴x∈[0,1);
当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x<2,∴x∈[1,2);
当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为 0>0,∴x∈∅;
当x∈[3,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x>[x]+1,∴x∈∅;
∴f(x)>g(x)在0≤x≤2012时的解集为[0,2),故d1=2.
f(x)=g(x)等价于[x]x-[x]2 =2x-[x]-2,即([x]-2)x=[x]2-[x]-2,
当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x=1,∴x∈∅;
当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x=2,∴x∈∅;
当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为0=0,∴x∈[2,3);
当x∈[3,2012]时,[x]-2>0,上式可化为x=[x]+1,∴x∈∅;
∴f(x)=g(x)在0≤x≤2012时的解集为[2,3),故d2=1.
f(x)<g(x)等价于[x]x-[x]2 <2x-[x]-2,即([x]-2)x<[x]2-[x]-2,
当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x>1,∴x∈∅;
当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x>2,∴x∈∅;
当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为 0<0,∴x∈∅;
当x∈[3,2012]时,[x]-2>0,上式可化为x<[x]+1,∴x∈[3,2012];
∴f(x)<g(x)在0≤x≤2012时的解集为[3,2012],故d3=2009.
故选C.
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