A、B是抛物线上的两点，直线l是线段AB的垂直平分线，当直线l的斜率为时，则直线l在y轴上截距的取值范围是．

Question

A、B是抛物线上的两点，直线l是线段AB的垂直平分线，当直线l的斜率为时，则直线l在y轴上截距的取值范围是____．

Answer 1

【分析】设直线l的方程为 y=x+b，设AB的方程为y=-2x+c，c>0，把把AB的方程代入抛物线y=2x²化简可得
2x²+2x-c=0，利用根与系数的关系及中点公式求得线段AB的中点M的坐标，把M的坐标代入直线l的方程可得c=b->0，解得b的范围．

设直线l的方程为 y=x+b，则AB的斜率为-2，设AB的方程为y=-2x+c，c>0，
把AB的方程 y=-2x+c代入抛物线y=2x²化简可得 2x²+2x-c=0，
∴x₁+x₂=-1，
故线段AB的中点 M(-，1+c )，由题意知，点 M(-，1+c )在直线l上，
∴1+c=(-)+b，
∴c=b->0，
∴b>，
故直线l在y轴上截距的取值范围是 .

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，线段的中垂线的性质，得到 c=b->0，是解题的关键．