设f(x)为在(-∞,+∞)内连续的偶函数,证明:1函数F(x)=∫f(t)dt为奇函数(积分号上面是x,下面是0)2在f(x)的所有原函数中,只有一个原函数是奇函数

Question

设f(x)为在(-∞,+∞)内连续的偶函数,证明:
1 函数F(x)=∫f(t)dt为奇函数
(积分号上面是x,下面是0)
2在f(x)的所有原函数中,只有一个原函数是奇函数

Answer 1

F(x)=∫f(t)dt 上限x,下限0
F(-x)=∫f(t)dt 上限-x,下限0
F(x)+F(-x)=∫f(t)dt 上限x,下限0+∫f(t)dt 上限-x,下限0
因为f(x)为在(-∞,+∞)内连续的偶函数
令t=-a
所以∫f(t)dt 上限-x,下限0=-∫f(-a)da 上限x,下限0
=-∫f(a)da 上限x,下限0=-∫f(t)dt 上限x,下限0
所以F(x)+F(-x)=0
F(x)为奇函数
设g(x)是f(x)的一个原函数
则f(x)的所有原函数是g(x)+C
因为g(x)+C的定义域是(-∞,+∞)
因为奇函数过原点
所以只有当C=0时,F（x）才是奇函数
因此只有一个原函数是奇函数