已知两个正实数x,y满足x+y=1,则使不等式1/x+4/y≥m恒成立的实数m的取值范围是1/x+4/y=2√4/xy由x+y=11≥2√xy所以2√4/xy≤8为什么不能这样写?

Question

已知两个正实数x,y满足x+y=1,则使不等式1/x + 4/y ≥m 恒成立的实数m的取值范围是
1/x+4/y=2√4/xy
由x+y=1 1≥2√xy
所以2√4/xy≤8
为什么不能这样写?

Answer 1

1/x+4/y≥2√(4/xy)=4/√(xy)
当且仅当1/x=4/y,
即y=4x时,取等号
由x+y=1 ,1≥2√xy
∴1/√(xy)≥2
当期仅当x=y时取等号.
两个不等式取等号的时刻不同步,
因此不能同时取等号,
两个不等式传递后,只能为>号.
1/x+4/y≥4/√(xy)① 1/√(xy)≥2 ②
①②不能同时取等号
只能是1/x+4/y>8 (没有等号,那么8就不是最小值）
【另外,2√4/xy≤8 方向有误】