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在5×5的方格棋盘内的一个格中填入一个数-1,其余的格填1,每次操作是任取一个k×k的正方形(2≤k≤5),将其中的所有数都变号,问:-1填入哪一格才能通过适当的有限次操作,使棋盘中所
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在5×5的方格棋盘内的一个格中填入一个数-1,其余的格填1,每次操作是任取一个k×k的正方形(2≤k≤5),将其中的所有数都变号,问:-1填入哪一格才能通过适当的有限次操作,使棋盘中所有数都变为1?
▼优质解答
答案和解析
将5×5的棋盘按如图所示的若干个格染成黑色,对任何一个k×k(2≤k≤5)的正方形,必含有偶数个黑色格,
如果将最初的-1填入黑色格中,那么每次改变偶数个黑格的符号,从而黑格内各数的积不变,始终为-1,
从而黑格中至少有一个-1,不可能全都变为1,于是,所有黑格都不能填-1,
将上述图形进行旋转90°,180°,270°,得到另外的黑格集,-1也不能放如这些黑格中,这些黑格集包含了除中心外的所有方格,
故-1最多放在中心这一方格中.
当中心方格放-1时,先取左上的3×3正方形进行操作,再取右下的3×3正方形进行操作,又先取左下的2×2正方形进行操作,再取右上的2×2正方形进行操作,最后取全部的5×5正方形进行操作即可,使所有数都变为1.
如果将最初的-1填入黑色格中,那么每次改变偶数个黑格的符号,从而黑格内各数的积不变,始终为-1,
从而黑格中至少有一个-1,不可能全都变为1,于是,所有黑格都不能填-1,
将上述图形进行旋转90°,180°,270°,得到另外的黑格集,-1也不能放如这些黑格中,这些黑格集包含了除中心外的所有方格,
故-1最多放在中心这一方格中.
当中心方格放-1时,先取左上的3×3正方形进行操作,再取右下的3×3正方形进行操作,又先取左下的2×2正方形进行操作,再取右上的2×2正方形进行操作,最后取全部的5×5正方形进行操作即可,使所有数都变为1.
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