在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，0），P为函数y=8x（x>0）图象上一点，过点P作PC⊥AP于P，PC=PA，D为BC的中点，连接PD．（1）如图①，若PA⊥OA于点A．①求点P的坐标；②求PD的长

Question

在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，0），P为函数y=(8)/(x)（x>0）图象上一点，过点P作PC⊥AP于P，PC=PA，D为BC的中点，连接PD．
（1）如图①，若PA⊥OA于点A．
①求点P的坐标；
②求PD的长；
（2）如图②，若PA不垂直于OA，连接OP，求(OP)/(PD)的值．

Answer 1

（1）①若PA⊥OA，则点P纵坐标为4，
∵点P在y=(8)/(x)上，
∴4=(8)/(x)，即x=2，
则P坐标为（2，4）；
②∵PA=PC，AP⊥PC，
∴C（2，2），
∵D为BC的中点，
∴D坐标为（3，1），
∴PD=√((3-2)2+(1-4)2)=√(10)；
（2）不妨取P（4，2），可得OP=√(20)=2√(5)，
设C（x₀，y₀），则k_AP=-(1)/(2)，
∴k_PC=2，
∴(y0-2)/(x0-4)=2①，
由PA=PC，得到（x₀-4）²+（y₀-2）²=4²+2²②，
联立①②，解得：x₀=2或x=6（舍去），
y₀=-2，即C的坐标（2，-2）
∵D为BC的中点，
∴D（3，-1），
∴PD=√((3-4)2+(-1-2)2)=√(10)，
则(OP)/(PD)=(2√(5))/(√(10))=

作业帮用户 2017-04-18

问题解析

（1）①由PA与y轴垂直，得到A与P纵坐标相同，把A纵坐标代入反比例解析式求出x的值，确定出P坐标即可；
②根据PC与AP垂直，由AP的长及P的坐标确定出C的坐标，再由D坐标，利用线段中点坐标公式求出D坐标，利用两点间的距离公式求出PD的长即可；
（2）不妨取P（4，2），求出OP的长，设C（x₀，y₀），由A与P坐标求出k_AP，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出k_PC的值，利用斜率公式列出关系式，再由PA=PC列出关系式，联立求出x₀与y₀的值，确定出C坐标，根据B与C坐标求出中点D坐标，利用两点间的距离公式求出PD的长，即可求出所求式子的值．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题

考点点评：

此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点间的距离公式，直线垂直时斜率满足的关系，以及线段中点坐标公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．

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