已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K=SS1，K1=PP1，则下面关于K、K1的

Question

已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S₁、P₁分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K=

(S)/(S1)，K₁=(P)/(P1)，则下面关于K、K₁的说法正确的是（　　）

A. K、K₁均为常值

B. K为常值，K₁不为常值

C. K不为常值，K₁为常值

D. K、K₁均不为常值

Answer 1

∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD∥FG，EH=FG=(1)/(2)BD，
∴△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD，
∴S_△AEH=(1)/(4)S_△ABD，S_△CFG=(1)/(4)S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=(1)/(4)S_{四边形ABCD}，
同理可得，S_△BEF+S_△DHG=(1)/(4)S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形EFGH}=(1)/(2)S_{四边形ABCD}，
∴K=(S)/(S1)=2，K为常值；
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=FG=(1)/(2)BD，EF=HG=(1)/(2)AC，
∴四边形EFGH的周长P₁=AC+BD，
若四边形ABCD是邻边长为1和2的矩形，则K₁=(P)/(P1)=(6)/(2√(5))=(3)/(√(5))，
若四边形ABCD是边长为1的正方形，则K₁=(P)/(P1)=(4)/(2√(2))=√(2)，
故K₁不为常值．
故选（B）