∫dx∫e-^y^2dy第一个∫上下标是2,0,第二个∫上下标是2,e.求积分.e-^y^2是e的负y次方的平方的意思

Question

∫ dx∫ e-^y^2dy 第一个∫ 上下标是2,0,第二个∫上下标是2,e.求积分.
e-^y^2是 e的负y次方的平方的意思

Answer 1

∫[0,t] e＾(-x^2)dx ∫[0,t] e＾(-y^2)dy
运用极坐标变换得
x=acosb,y=asinb,dxdy=adadb
∫[0,t] e＾(-x^2)dx ∫[0,t] e＾(-y^2)dy
=∫[0,2π]bdb∫[0,√2t] ae＾(-a^2)da
= 2π^2*(-1/2*e＾(-a^2))[0,√2t]
=π^2[1-e＾(-t^2)]
所以∫[0,t] e＾(-y^2)dy ＝π√[1-e＾(-t^2)]
∫ [0,2]dx∫[2,e] e-^y^2dy
=2π{√[1-e＾(-e^2)]-√[1-e＾(-2^2)]}
这个题目太变态了,一个广义积分搞成一个定积分.