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如图:两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦AC与小圆相切于点D,连接OD并延长交大圆于点E,连接BE交AC于点F.(1)已知tan∠B=22,且大、小两圆半径差2,求大圆的半径.(2)
题目详情
如图:两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦AC与小圆相切于点D,连接OD并延长交大圆于点E,连接BE交AC于点F.
(1)已知tan∠B=
,且大、小两圆半径差2,求大圆的半径.
(2)试判断EC与过B、F、C三点的圆的位置关系,并证明.
(3)在(1)的条件下,延长EC、AB交于 G,求sin∠G.
(1)已知tan∠B=
| ||
2 |
(2)试判断EC与过B、F、C三点的圆的位置关系,并证明.
(3)在(1)的条件下,延长EC、AB交于 G,求sin∠G.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠ABE=∠ACE,tan∠B=
,
∴tan∠ACE=
,
而OD⊥AC,
∵大、小两圆半径差为2,
∴DE=2,
故AD=DC=2
,在Rt△AOD中,可求得DO=1,
半径AO=3;
(2)EC是过B、F、C三点的切线.
证明:连接BC,
设过B、F、C三点的圆的圆心为O′,则⊙O′的直径为BF,连接O′C,
则O′C=O′F,
∠O′FC=O′CF,
∵AE=CE,
∴∠ECF=∠CBF,
而∠O′FC+∠CBF=90°,
∠O′CF+∠ECF=90°,
即∠ECO′=90°,
故EC是⊙O′的切线.
(3)过C作CM∥AB交DE于N,过N作HN⊥EC,
∵BC∥DO,
∴四边形ONCB为平行四边形,
∴ON=BC=2,
∴NE=1,又Rt△EHN中,
可求得NH=
,
∵NC=OB=3,
在Rt△NCH中,
sin∠G=sin∠HCN=
.
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2 |
∴tan∠ACE=
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2 |
而OD⊥AC,
∵大、小两圆半径差为2,
∴DE=2,
故AD=DC=2
2 |
半径AO=3;
(2)EC是过B、F、C三点的切线.
证明:连接BC,
设过B、F、C三点的圆的圆心为O′,则⊙O′的直径为BF,连接O′C,
则O′C=O′F,
∠O′FC=O′CF,
∵AE=CE,
∴∠ECF=∠CBF,
而∠O′FC+∠CBF=90°,
∠O′CF+∠ECF=90°,
即∠ECO′=90°,
故EC是⊙O′的切线.
(3)过C作CM∥AB交DE于N,过N作HN⊥EC,
∵BC∥DO,
∴四边形ONCB为平行四边形,
∴ON=BC=2,
∴NE=1,又Rt△EHN中,
可求得NH=
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3 |
∵NC=OB=3,
在Rt△NCH中,
sin∠G=sin∠HCN=
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