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设n属于正整数,n大于等于15,集合A、B都是I={1、2·····n}的真子集,A交B=空集.A并B=I,证明集合A或集合B中必有两个不同的数,他们的和为完全平方数
题目详情
设n属于正整数,n大于等于15,集合A、B都是I={1、2·····n}的真子集,A交B=空集.A并B=I,证明集合A或集合B中必有两个不同的数,他们的和为完全平方数
▼优质解答
答案和解析
完全用构造的方法就能反证：
假设能构造这样的A,B使得A交B=空集,A并B=I,并且A,B中没有2个数的和为完全平方数,
不妨设1属于A,由于n>=15,所以3,8,15必然属于B
由于3属于B,故6,13只能属于A
此时10如果属于A,则10+6=16,如果10属于B,则10+15=25
可见假设不成立,原命题成立
假设能构造这样的A,B使得A交B=空集,A并B=I,并且A,B中没有2个数的和为完全平方数,
不妨设1属于A,由于n>=15,所以3,8,15必然属于B
由于3属于B,故6,13只能属于A
此时10如果属于A,则10+6=16,如果10属于B,则10+15=25
可见假设不成立,原命题成立
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