从装有n+1个球（其中n=1个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0<m≤n，m，n∈N），共有Cmn+1种取法，这Cmn+1

Question

从装有n+1个球（其中n=1个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0<m≤n，m，n∈N），共有C

m

n+1

种取法，这C

m

n+1

种取法可分成两类：一类是取出的m个球中，没有黑球，有

C

0 1

•

C

m n

种取法，另一类是取出的m个球中有一个是黑球，有

C

1 1

•

C

m-1 n

种取法，由此可得等式：

C

0 1

•

C

m n

+

C

1 1

•

C

m-1 n

=C

m

n+1

．则根据上述思想方法，当1≤k<m<n，k，m，n∈N时，化简

C

0 k

•C

m

n

+C

1

k

•C

m-1

n

+C

2

k

•C

m-2

n

+…+C

k

k

•C

m-k

n

=___．（用符号表示）

Answer 1

根据题意，在C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k式中，
从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，
取出m个球的所有情况，即取法总数的和是多少；
又从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数有C_n+k^m种；
所以，C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=C_n+k^m．
故答案为：C_n+k^m．