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如图,MN是半径为2的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()A.42B.22C.2D.4
题目详情
如图,MN是半径为2的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )
A.4
B.2
C.2
D.4
A.4
2 |
B.2
2 |
C.2
D.4
▼优质解答
答案和解析
如图,作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB′、AB′,
由轴对称确定最短路线问题可知,AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点,
∵∠AMN=30°,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵B为弧AN的中点,
∴∠NOB′=
×60°=30°,
∴∠AOB′=90°,
∴△AOB′是等腰直角三角形,
∵⊙O的半径为2,
∴AB′=2
,
即PA+PB的最小值为为2
.
故选B.
由轴对称确定最短路线问题可知,AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点,
∵∠AMN=30°,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵B为弧AN的中点,
∴∠NOB′=
1 |
2 |
∴∠AOB′=90°,
∴△AOB′是等腰直角三角形,
∵⊙O的半径为2,
∴AB′=2
2 |
即PA+PB的最小值为为2
2 |
故选B.
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