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两城市A和B相距20km,现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记
题目详情
两城市A和B相距20km,现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数;
(2)判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
(1)将y表示成x的函数;
(2)判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据“垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,”建立函数模型:,再根据当时,y=0.065,求得参数k.
(2)总影响度最小,即为:求的最小值时的状态.令t=x2+320,将函数转化为:,再用基本不等式求解.
【解析】
(1)由题意得,
又∵当时,y=0.065,
∴k=9
∴(7分)
(2),
令t=x2+320∈(320,720),
则,当且仅当时,等号成立.(14分)
∴弧上存在一点,该点到城A的距离为时,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为0.0625.(16分)
(2)总影响度最小,即为:求的最小值时的状态.令t=x2+320,将函数转化为:,再用基本不等式求解.
【解析】
(1)由题意得,
又∵当时,y=0.065,
∴k=9
∴(7分)
(2),
令t=x2+320∈(320,720),
则,当且仅当时,等号成立.(14分)
∴弧上存在一点,该点到城A的距离为时,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为0.0625.(16分)
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