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高数!求详解设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在c,使f''(c)=2f'(c)/(1-c)
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高数!求详解
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在c,使f ''(c)=2f '(c)/(1-c)
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在c,使f ''(c)=2f '(c)/(1-c)
▼优质解答
答案和解析
令F(x)=(1-x)*f(x),F(0)=F(1)=0,在[0,1]上应用罗尔中值定理,存在ξ属于(0,1),使得F’(ξ)=0.
F'(x)=-f(x)+(1-x)f'(x)
F''(x)=-2*f'(x)+(1-x)*f''(x) (*)
F'(ξ)=0,F'(1)=0,在[ξ,1]上应用罗尔中值定理,存在c属于(ξ,1),使得
F''(c)=0代入(*)得,F''(c)=-2*f'(c)+(1-c)*f''(c) =0
得证.
F'(x)=-f(x)+(1-x)f'(x)
F''(x)=-2*f'(x)+(1-x)*f''(x) (*)
F'(ξ)=0,F'(1)=0,在[ξ,1]上应用罗尔中值定理,存在c属于(ξ,1),使得
F''(c)=0代入(*)得,F''(c)=-2*f'(c)+(1-c)*f''(c) =0
得证.
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