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如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),其中b>a>0,点C在第一象限,BA⊥BC,BA=BC,点F在线段OB上,OA=OF,AF的延长线与CB的延长线交于点D,AB与CF交于点E.(1)直接写出点C的
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如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),其中b>a>0,点C在第一象限,BA⊥BC,BA=BC,点F在线段OB上,OA=OF,AF的延长线与CB的延长线交于点D,AB与CF交于点E.
(1)直接写出点C的坐标:___(用含a,b的式子表示);
(2)求证:∠BAF=∠BCE;
(3)设点C关于直线AB的对称点为M,点C关于直线AF的对称点为N.求证:M,N关于x轴对称.
(1)直接写出点C的坐标:___(用含a,b的式子表示);
(2)求证:∠BAF=∠BCE;
(3)设点C关于直线AB的对称点为M,点C关于直线AF的对称点为N.求证:M,N关于x轴对称.
▼优质解答
答案和解析
(1) 如图1,过C点作CP⊥y轴于点P,
∵CP⊥y轴,
∴∠BPC=90°,
∴∠BPC=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBP=90°,
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBP=∠BAO,
在△AOB与△BEC中,
,
∴△AOB≌△BPC(AAS),
∴CE=OB=b,BE=OA=a,
∴OP=OB+BP=a+b,
∴点C的坐标为(b,a+b),
故答案为:(b,a+b);
(2)证明:∵△AOB≌△BPC,
∴BP=OA=OF,CP=BO,
∴FP=OB=CP,
∴∠PFC=45°,∠AFC=90°,
∴∠BAF=∠BCE;
(3)证明:如图2,∵点C关于直线AB的对称点为M,点C关于直线AF的对称点为N,
∴AM=AC,AN=AC,
∴AM=AN,
∵∠1=∠5,∠1=∠6,
∴∠5=∠6,
在△MAH与△NAH中,
∴
,
∴△MAH≌△NAH(SAS),
∴MH=NH,
∴M,N关于x轴对称.
∵CP⊥y轴,
∴∠BPC=90°,
∴∠BPC=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBP=90°,
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBP=∠BAO,
在△AOB与△BEC中,
|
∴△AOB≌△BPC(AAS),
∴CE=OB=b,BE=OA=a,
∴OP=OB+BP=a+b,
∴点C的坐标为(b,a+b),
故答案为:(b,a+b);
(2)证明:∵△AOB≌△BPC,
∴BP=OA=OF,CP=BO,
∴FP=OB=CP,
∴∠PFC=45°,∠AFC=90°,
∴∠BAF=∠BCE;
(3)证明:如图2,∵点C关于直线AB的对称点为M,点C关于直线AF的对称点为N,
∴AM=AC,AN=AC,
∴AM=AN,
∵∠1=∠5,∠1=∠6,
∴∠5=∠6,
在△MAH与△NAH中,
∴
|
∴△MAH≌△NAH(SAS),
∴MH=NH,
∴M,N关于x轴对称.
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