一半径为的均匀带电球体,求（1）球体外的电势分布（2）球体内的电势分布（设球体电荷密度为,无限远处为电势零点）.

Question

一半径为 的均匀带电球体,求（1）球体外的电势分布（2）球体内的电势分布（设球体电荷密度为 ,无限远处为电势零点）.

Answer 1

设球的半径为R,电荷密度为q,在真空中.
作一半径为r的高斯面S,
根据高斯定理有
∮SE×dS=∑q÷ε0
当r＜R时,∑q=4×π×r3×q÷3
球内E内=r×q÷（3×ε0）
当r≥R时,∑q=4×π×R3×q÷3
球外E外=R3×q÷（3×r2×ε0）
电势U=∫E×dl
当r≥R时
球外电势U=∫∞r E×dr=[ R3×q÷（3×r×ε0）]
当r＜R时,
球内电势U=∫Rr E内×dr＋∫∞R E外×dr
=q×（R×R－r×r）÷（6×ε0）＋（R×R×q）÷（3×ε0）
=（3×q×R×R－q×r×r）÷（6×ε0）
说明：
用word做的题,转到知道时有些变化.
该题中,R3其实是R的3次方,即R×R×R,
∫Rr其实是积分从r至R.
在高等院校教材《电路理论 学习与考研指导》,马世豪等编,P．14,有类似的题解,可以查阅参考.