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如图,在直角坐标系中,点P的坐标是(n,0)(n>0),抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P.已知正方形ABCD的三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).(1)求c,b的值,并写出抛物线对称轴
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如图,在直角坐标系中,点P的坐标是(n,0)(n>0),抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P.已知正方形ABCD的三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).
(1)求c,b的值,并写出抛物线对称轴及y的最大值(用含有n的代数式表示);
(2)若抛物线与直线AD交于点N,求n为何值时,△NPO的面积为1;
(3)若抛物线经过正方形区域ABCD(含边界),请直接写出n的取值范围.
(1)求c,b的值,并写出抛物线对称轴及y的最大值(用含有n的代数式表示);
(2)若抛物线与直线AD交于点N,求n为何值时,△NPO的面积为1;
(3)若抛物线经过正方形区域ABCD(含边界),请直接写出n的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P,且p点坐标为(n,0),
∴c=0,b=n,
抛物线的解析式为y=-x2+nx,
抛物线的对称轴x=
,
顶点坐标为(
,
),
y的最大值为
;
(2)∵正方形ABCD的三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).
∴直线AD的解析式为x=2,
∵抛物线与直线AD交于点N,
∴N点的坐标为(2,2n-4),
当n>2时,S△NPO=
×n×(2n-4),
又知△NPO的面积为1,
∴n2-2n=1,
解得n=1±
,
又∵n>0,
∴n=1+
;
当n=2时,P、N两点重合,△NPO不存在,
当0<n<2时,
n(4-2n)=1,解得n=1,
故当n=1+
或n=1时,△NPO的面积为1;
(3)分别把A(2,2)、B(3,2)、C(3,3)、D(2,3)中的横坐标、纵坐标代入抛物线的解析式y=-x2+nx中,
解得n=3;n=
,n=4,n=
,
若抛物线经过正方形区域ABCD(含边界),
则n的取值范围是3≤n≤4.
∴c=0,b=n,
抛物线的解析式为y=-x2+nx,
抛物线的对称轴x=
n |
2 |
顶点坐标为(
n |
2 |
n2 |
4 |
y的最大值为
n2 |
4 |
(2)∵正方形ABCD的三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).
∴直线AD的解析式为x=2,
∵抛物线与直线AD交于点N,
∴N点的坐标为(2,2n-4),
当n>2时,S△NPO=
1 |
2 |
又知△NPO的面积为1,
∴n2-2n=1,
解得n=1±
2 |
又∵n>0,
∴n=1+
2 |
当n=2时,P、N两点重合,△NPO不存在,
当0<n<2时,
1 |
2 |
故当n=1+
2 |
(3)分别把A(2,2)、B(3,2)、C(3,3)、D(2,3)中的横坐标、纵坐标代入抛物线的解析式y=-x2+nx中,
解得n=3;n=
11 |
3 |
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2 |
若抛物线经过正方形区域ABCD(含边界),
则n的取值范围是3≤n≤4.
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