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阅读理解应用待定系数法:设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.待定系数法可以应用
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阅读理解应用
待定系数法:设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题:因式分解x3-1.
因为x3-1为三次多项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想x3-1可以分解成x3-1=(x-1)(x2+ax+b),展开等式右边得:x3+(a-1)x2+(b-a)x-b,根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等:a-1=0,b-a=0,-b=-1,可以求出a=1,b=1.
所以x3-1=(x-1)(x2+x+1)
(1)若x取任意值,等式x2+2x+3=x2+(3-a)x+s恒成立,则a=___;
(2)已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1,请用待定系数法求出该多项式的另一因式.
(3)请判断多项式x4-x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积,并说明理由.
待定系数法:设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为值等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题:因式分解x3-1.
因为x3-1为三次多项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想x3-1可以分解成x3-1=(x-1)(x2+ax+b),展开等式右边得:x3+(a-1)x2+(b-a)x-b,根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等:a-1=0,b-a=0,-b=-1,可以求出a=1,b=1.
所以x3-1=(x-1)(x2+x+1)
(1)若x取任意值,等式x2+2x+3=x2+(3-a)x+s恒成立,则a=___;
(2)已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1,请用待定系数法求出该多项式的另一因式.
(3)请判断多项式x4-x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵x2+2x+3=x2+(3-a)x+s,
∴3-a=2,a=1;
(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1,
a+1=0,a=-1,
多项式的另一因式是x2-x+1;
(3)能,
∵设x4-x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1,
∴a+b=0,ab+2=-1,
解得:a=
或-
,则b=-
或
,
∴x4-x2+1=(x2+
x+1)(x2-
x+1).
∴3-a=2,a=1;
(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1,
a+1=0,a=-1,
多项式的另一因式是x2-x+1;
(3)能,
∵设x4-x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1,
∴a+b=0,ab+2=-1,
解得:a=
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∴x4-x2+1=(x2+
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