已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）．（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）设函数h(x)=f(x)+1+ax，求函数h（x）的单调区间；（3）若g(x)=-1+ax，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使

Question

已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）．
（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设函数h(x)=f(x)+(1+a)/(x)，求函数h（x）的单调区间；
（3）若g(x)=-(1+a)/(x)，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x₀，使得f（x₀）<g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，则f（x）=x-2lnx，求导f′（x）=1-(2)/(x)，
当x=1时，f（1）=1，
曲线f（x）在（1，1）处的切线斜率k=f′（1）=1-(2)/(1)=-1，
∴曲线f（x）在（1，1）处的切线方程：y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程x+y-2=0；
（2）h(x)=f(x)+(1+a)/(x)=x-alnx+(1+a)/(x)，定义域为（0，+∞），
求导h′（x）=1-(a)/(x)-(1+a)/(x2)=((x+1)[x-(1+a)])/(x2)，
当a>-1时，令h′（x）>0，解得：x>a+1；
令h′（x）<0，解得：0<x<1+a，
故h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，h′（x）>0恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上可知：当a>-1时，函数单调递增区间（0，a+1），单调递减区间（a+1，+∞）；当a≤-1时，单调递增区间（0，+∞）；
（3）由题意可知，在[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）<g（x₀）成立，
∴在[1，e]上存在一点x₀，使得h（x₀）≤0，
即函数h（x）=x-alnx+(1+a)/(x)在[1，e]上的最小值[h（x）]_min≤0，
由（2）可知：（Ⅰ）当a>-1时：①当a+1≥e时，h（x）在[1，e]上单调递减，
∴[h（x）]_min=h（e）=e+(1+a)/(e)≤0，则a≥(e2+1)/(e-1)，
∵(e2+1)/(e-1)>e-1，
∴a≥(e2+1)/(e-1)；
②当a+1≤1时，h（x）在[1，e]上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1+1+a≤0，
∴a≤-2，不满足题意；
③当1<a+1<e，即0<a<e-1，
∴[h（x）]_min=h（1+1）=2+a-aln（1+a）≤0，
∵0<ln（1+a）<1，
∴0<aln（1+a）<a，
∴h（1+a）>2，此时不存在x₀使得h（x₀）≤0成立，
（Ⅱ）当a≤-1时：h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1+1+a≤0，即a≤-2，
综上所述，a的取值范围是：a≥(e2+1)/(e-1)或a≤-2．