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问题情境:如图1,点D是△ABC外的一点,点E在BC边的延长线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.试探究∠D与∠A的数量关系.(1)特例探究:如图2,若△ABC是等边三角形,其余条件不变,则∠D=
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问题情境:如图1,点D是△ABC外的一点,点E在BC边的延长线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.试探究∠D与∠A的数量关系.
(1)特例探究:
如图2,若△ABC是等边三角形,其余条件不变,则∠D=___;
如图3,若△ABC是等腰三角形,顶角∠A=100°,其余条件不变,则∠D=___;这两个图中,∠D与∠A度数的比是___;
(2)猜想证明:
如图1,△ABC为一般三角形,在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立?若成立,利用图1证明你的结论;若不成立,说明理由.
(1)特例探究:
如图2,若△ABC是等边三角形,其余条件不变,则∠D=___;
如图3,若△ABC是等腰三角形,顶角∠A=100°,其余条件不变,则∠D=___;这两个图中,∠D与∠A度数的比是___;
(2)猜想证明:
如图1,△ABC为一般三角形,在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立?若成立,利用图1证明你的结论;若不成立,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图2,∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,∠ACE=120°,
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.
∴∠DBC=30°,∠DCE=60°,
∵∠DCE=∠D+∠DBC,
∴∠D=30°;
如图3,∵△ABC是等腰三角形,∠A=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,∠ACE=140°,
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.
∴∠DBC=20°,∠DCE=70°,
∵∠DCE=∠D+∠DBC,
∴∠D=50°;
故答案为30°,50°,1:2;
(2)成立,
如图1,在△ABC中,∠ACE=∠A+∠ABC,
在△DBC中,∠DCE=∠D+∠DBC,…(1)
∵CD平分∠ACE,BD平分∠ABC,
∴∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,
又∵∠ACE=∠A+∠ABC,
∴2∠DCE=∠A+2∠DBC,…(2)
由(1)×2-(2),
∴2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0,
∴∠A=2∠D.
∴∠ABC=60°,∠ACE=120°,
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.
∴∠DBC=30°,∠DCE=60°,
∵∠DCE=∠D+∠DBC,
∴∠D=30°;
如图3,∵△ABC是等腰三角形,∠A=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,∠ACE=140°,
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.
∴∠DBC=20°,∠DCE=70°,
∵∠DCE=∠D+∠DBC,
∴∠D=50°;
故答案为30°,50°,1:2;
(2)成立,
如图1,在△ABC中,∠ACE=∠A+∠ABC,
在△DBC中,∠DCE=∠D+∠DBC,…(1)
∵CD平分∠ACE,BD平分∠ABC,
∴∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,
又∵∠ACE=∠A+∠ABC,
∴2∠DCE=∠A+2∠DBC,…(2)
由(1)×2-(2),
∴2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0,
∴∠A=2∠D.
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