已知椭圆M:x的平方除以a+y的平方除以b=1的长轴长为四倍根号二,且与椭圆x的平方除以2+y的平方除以4=1有相同的离心率,求椭圆M的方程

Question

已知椭圆M:x的平方除以a+y的平方除以b=1的长轴长为四倍根号二,且与椭圆x的平方除以2+y的平方除以4=1有相同的离心率,
求椭圆M的方程

Answer 1

由椭圆M：x^2/a+y^2/b=1, 得半长轴为√a,
由题设得：2√a=4√2, √a=2√2. a=8.
由椭圆：x^2/2+y^2/4=1, 得：c^2=4-2=2, c=√2, e1=c/a=√2/2 .
∵椭圆M的离心率e=e1=√2/2.
又,e=c1/√a=√2/2.
c1=√2*√a)/2.
且, c1^2=a-b=[(√2√a)/2]^2.
a-b=2a/4=2*8/4=4.
b=a-4=8-4.
∴b=4.
∴所求的椭圆M的方程为：x^2/8+y^2/4=1.