如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求证：△DMN∽△BCN；（2）求BD的长；（3）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．

Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．

（1）求证：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的长；
（3）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；

（2）∵△DMN∽△BCN，
∴(MD)/(CB)=(DN)/(BN)，
∵M为AD中点，
∴MD=(1)/(2)AD=(1)/(2)BC，
即(MD)/(CB)=(1)/(2)，
∴(DN)/(BN)=(1)/(2)，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；

（3）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S_△MND=(1)/(2)S_△CND=1，S_△BNC=2S_△CND=4．
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND=4+2=6，
∴S_{四边形ABNM}=S_△ABD-S_△MND=6-1=5．