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已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);(2)如
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已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=2
,求此时线段CF的长(直接写出结果).
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=2
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,
∴DF=
BE,CF=
BE,
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°
∵BF=DF,
∴∠DBF=∠BDF,
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,
∴∠DFE=2∠DBF,
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,
∴DF=CF,且DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:如图,此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,
∴DE∥BC.
∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F为BE中点,
∴EF=BF.
∴△DEF≌△GBF.
∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,
∴AD=GB,
∵AC=BC,
∴AC-AD=BC-GB,
∴DC=GC.
∵∠ACB=90°,
∴△DCG是等腰直角三角形,
∵DF=GF.
∴DF=CF,DF⊥CF.
(3)延长DF交BA于点H,
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,AD=DE.
∴∠AED=∠ABC=45°,
∵由旋转可以得出,∠CAE=∠BAD=90°,
∵AE∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠DEF=∠HBF.
∵F是BE的中点,
∴EF=BF,
∴△DEF≌△HBF,
∴ED=HB,
∵AC=2
,在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB=4,
∵AD=1,
∴ED=BH=1,
∴AH=3,在Rt△HAD中由勾股定理,得
DH=
,
∴DF=
,
∴CF=
∴线段CF的长为
.
∴DF=
1 |
2 |
1 |
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∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°
∵BF=DF,
∴∠DBF=∠BDF,
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,
∴∠DFE=2∠DBF,
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,
∴DF=CF,且DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:如图,此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,
∴DE∥BC.
∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F为BE中点,
∴EF=BF.
∴△DEF≌△GBF.
∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,
∴AD=GB,
∵AC=BC,
∴AC-AD=BC-GB,
∴DC=GC.
∵∠ACB=90°,
∴△DCG是等腰直角三角形,
∵DF=GF.
∴DF=CF,DF⊥CF.
(3)延长DF交BA于点H,
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,AD=DE.
∴∠AED=∠ABC=45°,
∵由旋转可以得出,∠CAE=∠BAD=90°,
∵AE∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠DEF=∠HBF.
∵F是BE的中点,
∴EF=BF,
∴△DEF≌△HBF,
∴ED=HB,
∵AC=2
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AB=4,
∵AD=1,
∴ED=BH=1,
∴AH=3,在Rt△HAD中由勾股定理,得
DH=
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∴DF=
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∴CF=
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∴线段CF的长为
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