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在平面直角坐标系xOy中,把抛物线C1:y=x2-4沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,得抛物线C2,C1和C2的交点为点M(如图1)(1)用含m的式子来表示抛物线C2的解析式和点M的坐标;(2)定义:
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在平面直角坐标系xOy中,把抛物线C1:y=x2-4沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,得抛物线C2,C1和C2的交点为点M(如图1)
(1)用含m的式子来表示抛物线C2的解析式和点M的坐标;
(2)定义:像C1和C2两条抛物线,是把其中一条沿水平方向向左(像向右)平移得到另一条.若两抛物线的顶点P、Q以及交点M满足∠PMQ=90°,则这样的两条抛物线互为“和谐线”.
①求抛物线C1:y=x2-4的和谐线;
②如图2,抛物线C1:y=x2-4与x轴正半轴的交点为A,与它的和谐线的交点为M(点M在第四象限),连接MA,过点M作MH⊥x轴,在x轴上存在一点N,使∠ONM+∠AMH=45°,求点N的坐标
(1)用含m的式子来表示抛物线C2的解析式和点M的坐标;
(2)定义:像C1和C2两条抛物线,是把其中一条沿水平方向向左(像向右)平移得到另一条.若两抛物线的顶点P、Q以及交点M满足∠PMQ=90°,则这样的两条抛物线互为“和谐线”.
①求抛物线C1:y=x2-4的和谐线;
②如图2,抛物线C1:y=x2-4与x轴正半轴的交点为A,与它的和谐线的交点为M(点M在第四象限),连接MA,过点M作MH⊥x轴,在x轴上存在一点N,使∠ONM+∠AMH=45°,求点N的坐标
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线C1:y=x2-4①沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,得抛物线C2,
∴抛物线C2的解析式为y=(x-m)2-4=x2-2mx+m2-4②,
联立①②得,x=
,y=
-4,
∴M(
,
-4);
(2)设抛物线C1:y=x2-4的和谐线抛物线C2的解析式为y=(x-m)2-4,
∴抛物线C1的顶点P(0,-4),抛物线C2的顶点Q(m,-4),
∴PQ=|m|,同(1)的方法得,M(
,
-4);
由“和谐线”的定义,易知,△PMQ是等腰直角三角形,
∴
-4+4=
|m|,
∴m=-2或m=2,
∴抛物线C2的解析式为y=(x-2)2-4或y=(x+2)2-4.
(3)当点N在x轴负半轴上时,如图,
由(2)知,M(1,-3),抛物线C2过原点,
∴直线OM的解析式为y=-3x,
过点O作OD⊥OM,截取OD=OM,
∴△ODM是等腰直角三角形,
∴∠ODM=45°,
∵∠DON+∠MOA=90°,∠OMH+∠MOH=90°,
∴∠DON=∠OMH,
∵∠OMH=∠AMH,
∴∠AMH=∠DON,
∴直线OD的解析式为y=
x,
设点D的坐标为(3m,m)(m<0),
∴9m2+m2=10,
∴m=1(舍)或m=-1,
∴D(-3,-1),
∵M(1,-3),
∴直线DM的解析式为y=-
x-
,
令y=0,得-
x-
=0,
∴x=-5,
∴N(-5,0),
同理可得,x轴正半轴上的一个N点的坐标为(7,0).
即:满足条件的点N(-5,0)或(7,0).
∴抛物线C2的解析式为y=(x-m)2-4=x2-2mx+m2-4②,
联立①②得,x=
m |
2 |
m2 |
4 |
∴M(
m |
2 |
m2 |
4 |
(2)设抛物线C1:y=x2-4的和谐线抛物线C2的解析式为y=(x-m)2-4,
∴抛物线C1的顶点P(0,-4),抛物线C2的顶点Q(m,-4),
∴PQ=|m|,同(1)的方法得,M(
m |
2 |
m2 |
4 |
由“和谐线”的定义,易知,△PMQ是等腰直角三角形,
∴
m2 |
4 |
1 |
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∴m=-2或m=2,
∴抛物线C2的解析式为y=(x-2)2-4或y=(x+2)2-4.
(3)当点N在x轴负半轴上时,如图,
由(2)知,M(1,-3),抛物线C2过原点,
∴直线OM的解析式为y=-3x,
过点O作OD⊥OM,截取OD=OM,
∴△ODM是等腰直角三角形,
∴∠ODM=45°,
∵∠DON+∠MOA=90°,∠OMH+∠MOH=90°,
∴∠DON=∠OMH,
∵∠OMH=∠AMH,
∴∠AMH=∠DON,
∴直线OD的解析式为y=
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3 |
设点D的坐标为(3m,m)(m<0),
∴9m2+m2=10,
∴m=1(舍)或m=-1,
∴D(-3,-1),
∵M(1,-3),
∴直线DM的解析式为y=-
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2 |
5 |
2 |
令y=0,得-
1 |
2 |
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∴x=-5,
∴N(-5,0),
同理可得,x轴正半轴上的一个N点的坐标为(7,0).
即:满足条件的点N(-5,0)或(7,0).
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